Математическая задачка - Теоремка

Красивая теоремка, с которой приятно провести досуг:

Среди любых 2*N + 1 целых чисел обязательно найдутся N таких, что их сумма без остатка делится на N.

При N=1 утверждение звучит так: среди трёх целых чисел найдутся два таких, что их сумма делится на 2. Ну и в самом деле, среди трёх целых можно найти либо два чётных, либо два нечётных — их сумма будет чётной. Это тривиально.

При N=2 всё тоже не очень сложно: среди пяти целых чисел нужно найти три, сумма которых делится на 3. Рассмотрим случай, когда среди пяти чисел есть три таких, которые при делении на 3 дают остатки 0, 1 и 2. Тогда их сумма как раз и будет делиться на 3 и всё доказано.

Теперь рассмотрим случай, когда во всей пятёрке остатков от деления на 3 есть только два разных (например, 0 и 1). Тогда в пятёрке точно найдутся три одинаковых остатка (например, три единицы), и их сумма будет делиться на 3.

Попробуйте в свободное время доказать эту теоремку для N = 4, потом 5 и так далее, насколько хватит удовольствия — а вы его точно получите, не сомневайтесь.

Можно попробовать доказать утверждение и для произвольного N, но это уже не так легко, и школьной математики там не хватит. Доказательство впервые было опубликовано всего 60 лет назад, оно по ссылке

https://users.renyi.hu/~p_erdos/1961-25.pdf