ЮжныйСеверный поток3+4+5+
Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

11 Дек 2021, 23:06ProfMoriarti  
Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

Дело в том, что мы все знакомы с дискриминантом для уравнений степени 2.
Для квадратных уравнений.

11 Дек 2021, 23:08ProfMoriarti  
сейчас посмотрим

вторую попытку

11 Дек 2021, 23:10ProfMoriarti  
Есть дискриминанты

и для 3-ей степени и для 4-ой.
=
Теорема Абеля - Руффини не заявляет о том, что общее уравнение {\displaystyle n}n-й степени при {\displaystyle n\geqslant 5}n\geqslant 5 не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля - Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение {\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5- x-1=0}{\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5- x-1=0} имеет корень {\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}- ]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{- 5}]{16}}}{\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}- ]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{- 5}]{16}}}.

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

Явные формулы для степеней меньше пятой
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как "вторую часть" или как "обратную" теорему Абеля - Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля - Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4].

12 Дек 2021, 05:05Nick_off  
Ради Кала

профессор, а можно нам попроще, всё-таки новый год скоро? может ну ее эту теорему в топку?))

15 Дек 2021, 01:30ProfMoriarti  
профессор, а можно нам попроще,

Явные формулы для степеней меньше пятой
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как "вторую часть" или как "обратную" теорему Абеля - Руффини.

см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и
Феррари (для четвёртой)[4].